Flame
Tampilkan postingan dengan label Materi Matematika Minat. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label Materi Matematika Minat. Tampilkan semua postingan

Logaritma

21.43

Pengertian Logaritma


Logaritma adalah kebalikan dari suatu perpangkatan. Jika sebuah perpangkatan ac= b, maka dapat dinyatakan dalam logaritma sebagai:
a \ne 1
ada penulisan logaritma alog b = c, a disebut bilangan pokok dan b disebut bilangan numerus atau bilangan yang dicari nilai logaritmanya (b > 0) dan c merupakan hasil logaritma. Jika nilai a sama dengan 10, biasanya 10 tidak dituliskan sehingga menjadi log b = c. Jika nilai bilangan pokoknya merupakan bilangan e (bilangan eurel) dengan e = 2,718281828 maka logaritmanya ditulis dengan logaritma natural dan penulisannya dapat disingkat menjadi ln, misalnya elog b = c menjadi:
ln b = c
Berikut ini sejumlah contoh logaritma:
PerpangkatanContoh Logaritma
 21 = 22log 2 = 1
 20 = 12log 1 = 0
 23 = 82log 8 = 3
2-3 = 82log  = – 3
 9^{\frac{3}{4}} = 3 \sqrt{3}9log 3 \sqrt{3} = \frac{3}{4}
 103 = 1000log 1000 = 3

Sifat-sifat Logaritma

1. Sifat Logaritma dari perkalian

Suatu logaritma merupakan hasil penjumlahan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-nya merupakan faktor dari nilai numerus awal. Berikut modelnya:
alog p.q = alog p + alog q
dengan syarat a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.

2. Perkalian Logaritma

Suatu logaritma a dapat dikalikan dengan logaritma b jika nilai numerus logaritma a sama dengan nilai bilangan pokok logaritma b. Hasil perkalian tersebut merupakan logaritma baru dengan nilai bilangan pokok sama dengan logaritma a, dan nilai numerus sama dengan logaritma b. Berikut model sifat logaritma nya:
alog b x blog c = alog c
dengan syarat a > 0, a \ne 1.

3. Sifat Logaritma dari pembagian

Suatu logaritma merupakan hasil pengurangan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-nya merupakan pecahan atau pembagian dari nilai numerus logaritma awal. Berikut modelnya:
alog \frac{p}{q} = alog p – alog q
dengan syarat a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.

4. Sifat Logaritma berbanding terbalik

Suatu logaritma berbanding terbalik dengan logaritma lain yang memiliki nilai bilangan pokok dan numerus-nya saling bertukaran. Berikut modelnya:
alog b = \frac{1}{^b log a}
dengan syarat a > 0, a \ne 1.

5. Logaritma berlawanan tanda

Suatu logaritma berlawanan tanda dengan logaritma yang memiliki numerus-nya merupakan pecahan terbalik dari nilai numerus logaritma awal. Berikut modelnya:
alog \frac{p}{q} = – alog \frac{q}{p}
dengan syarat a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.

6. Sifat Logaritma dari perpangkatan

Suatu logaritma dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pengali. Berikut modelnya :
alog bp = p. alog b
dengan syarat a > 0, a \ne 1, b > 0

7. Perpangkatan Bilangan Pokok Logaritma

Suatu logaritma dengan nilai bilangan pokoknya merupakan suatu eksponen (pangkat) dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pembagi. Berikut modelnya:
^{a^p} log b = \frac{1}{p} ^a log b

8. Bilangan pokok logaritma sebanding dengan perpangkatan numerus

Suatu logaritma dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dari nilai bilangan pokoknya memiliki hasil yang sama dengan nilai pangkat numerus tersebut. Berikut model sifat logaritma nya:
alog ap = p
dengan syarat a > 0 dan a \ne 1.

9. Perpangkatan logaritma

Suatu bilangan yang memiliki pangkat berbentuk logaritma, hasil pangkatnya adalah nilai numerus dari logaritma tersebut. Berikut modelnya:
a^{^a log m} = m
dengan syarat a > 0, a \ne 1, m > 0.

10. Mengubah basis logaritma

Suatu logaritma dapat dipecah menjadi perbandingan dua logaritma sebagai berikut
^p log q = \frac{^a log p}{^a log q}
dengan syarat a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0

Contoh Soal Logaritma dan Pembahasan

Contoh Soal Logaritma 1

Diketahui 3log 5 = x dan 3log 7 = y. maka, nilai dari 3log 245 1/2 adalah … ?            (EBTANAS ’98)
Pembahasan 1
3log 245 ½ = 3log (5 x 49) ½
3log 245 ½ = 3log ((5) ½ x (49) ½)
3log 245 ½ = 3log (5) ½ + 3log (72) ½
3log 245 ½ = \frac{1}{2} ( 3log 5 + 3log 7)
3log 245 ½ = \frac{1}{2} (x + y)
Jadi, nilai dari 3log 245 1/2 adalah \frac{1}{2} (x + y).

Contoh Soal Logaritma 2

Jika b = a4, nilai a dan b positif, maka nilai alog b – blog a adalah …?              (UMPTN ’97)
Pembahasan 2
Diketahui bahwa b = a4, maka dapat disubstitusi kedalam perhitungan:
alog b – blog a = alog a4  – ^{a^4} log a
alog b – blog a = 4 (alog a) – \frac{1}{4}( alog a)
alog b – blog a = 4 – \frac{1}{4}
alog b – blog a = 3 \frac{3}{4}
Jadi, nilai dari alog b – blog a pada soal tersebut adalah 3 \frac{3}{4}.

Contoh Soal Logaritma 3

Jika alog (1- 3log \frac{1}{27}) = 2, maka tentukanlah nilai a.   (UMPTN ’97)
Pembahsan 3
Jika kita buat nilai 2 menjadi sebuah logaritma dengan bilangan pokok logaritmanya adalah a menjadi alog a2= 2, maka didapat :
alog (1- 3log \frac{1}{27}) = 2
alog (1- 3log \frac{1}{27}) = alog a2
Nilai numerus kedua logaritma tersebut bisa menjadi sebuah persamaan:
1- 3log \frac{1}{27} = a2
3log 3 – 3log \frac{1}{27} = a2
3log 3 – 3log 3(-3) = a2
3log \frac{3}{3^{(-3)}} = a2
3log 34 = a2
4 = a2
Sehingga diperoleh nilai a = 2

Eksponen

23.23
Eksponen merupakan perkalian bilangan yang sama secara berulang. Sebagai contoh, jika kita mengalikan angka 7 secara berulang sebanyak 4 kali, yaitu pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10, kita dapat menuliskannya dengan 7^4 = 2401 atau pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10.
Secara umum, pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10 dengan pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10 sebanyak n kali. Artinya, kita mengalikan pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10 secara berulang sebanyak pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10 kali. (pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10 dibaca “x pangkat n”).
Eksponen biasa juga disebut dengan pangkat. Pada perpangkatan pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10, x disebut sebagai basis bilangan pokok dan y disebut sebagai pangkat.

Sifat-sifat eksponen:

Misalkan pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10, dan pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10 adalah bilangan real, dengan pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10, maka:
  1. Jika suatu bilangan dipangkatkan dengan 0, maka hasilnya adalah 1.
    Sebagai contoh, pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10, pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10, dan pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10.
    Jadi, semua bilangan real (pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10 jika dipangkatkan dengan 0, hasilnya adalah 1.
  2. Jika suatu bilangan dipangkatkan dengan 1, maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Sedangkan jika 1 dipangkatkan dengan bilangan berapa pun, hasilnya adalah 1.
    Contoh: pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10, pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10
    Jadi, pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10 dan pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10, berapa pun nilai x, dengan syarat x adalah bilangan real.
  3. Jika suatu bilangan dipangkatkan dengan bilangan negatif, berlaku sifat:
    pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10 (sifat eksponen untuk pangkat negatif)
    Contoh: pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10
  4. pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10
    Contoh: pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10 atau pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10
  5. pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10
    Contoh: pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10
  6. pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10
    Contoh: pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10
  7. pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10 (Sifat eksponen untuk pangkat pecahan)
    Contoh: pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10
  8. pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10
    Contoh: pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10

Contoh Soal Eksponen

Soal 1: Tentukanlah bentuk sederhana dari pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10
Jawab:
Perhatikan bahwa pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10, kemudian pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10 dan pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10. (Ini didapat dengan menggunakan sifat (6) di atas).
Selanjutnya, pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10. (Menggunakan sifat (5))
Terakhir, pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10.
Soal 2: Jika pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10, maka pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10 …. (Soal SPMB tahun 2003)
Jawab:
Perhatikan bahwa setiap suku pada bentuk eksponen pecahan tersebut dapat kita nyatakan dengan bilangan pokok pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10, yaitu:
pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10, pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10, dan pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10
Misalkan pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10, maka kita mendapatkan:
pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10
pengertian-komunikasi-dan-fungsi-komunikasi-1-300x229 Materi Eksponen Matematika SMA Kelas 10
Langganan: Postingan (Atom)

Recent Posts

Posts

Formulir Kontak

Nama

Email *

Pesan *